Question

（本題滿分15分）已知函數定義域為(),設.

(Ⅰ)試確定的取值范圍,使得函數在上為單調函數；

(Ⅱ)求證:；

(Ⅲ)求證:對于任意的,總存在,滿足,并確定這樣的的個數 (其中為函數的導函數) .

Answer 1

（1）（2）見解析（3）當或時，一解；當時，二解。

解析:

(Ⅰ) 函數的導函數，欲使得函數在上為單調函數，因當時，，當時，，故只要時，恒成立，可得�！�分

(Ⅱ)當時，得或，又時，，時，，時，，所以時，是函數在上的極小值，時，是函數在上的極大值，當時，有，而，由知，時由單調性知。…分

(Ⅲ) 對于任意的，，而

⑴當時，在上單調遞減，只要證

，

即且①，由知①顯然成立，且有唯一解�！�…分

⑵當時，只要證，只要證，顯然成立。

當，即時，一解，當即時，

二解

⑶當時，只要證，

即證，顯然成立。

當時，即時，二解，當，即，一解。

綜合以上，當或時，一解；當時，二解。……分。