Question

已知定義域是全體實數的函數y=f（x）滿足f（x+2π）=f（x），且函數g（x）=，函數h（x）=．現定義函數p（x），q（x）為：p（x）=，q（x）=，其中k∈Z，那么下列關于p（x），q（x）敘述正確的是

1. A.
   都是奇函數且周期為π
2. B.
   都是偶函數且周期為π
3. C.
   均無奇偶性但都有周期性
4. D.
   均無周期性但都有奇偶性

Answer 1

B
分析：先求出g（-x）==g（x），再利用f（x）的周期為2π，可推出g（x+π）=g（x-π），故g（x）周期為
2π，在此基礎上推出p（-x）=p（x），p（x+π）=p（x），即p（x）是偶函數且周期為π，同理可得q（x）
也是偶函數且周期為π．
解答：∵g（x）=，∴g（-x）==g（x） 且g（x+π）==g（x-π），即g（x）周期為2π．
∴x≠kπ+時，p（-x）==，
且p（x+π）=，由此可得p（x）是偶函數且周期為π，
同理可得q（x）也是偶函數且周期為π．
故選B．
點評：本題考查了抽象函數的奇偶性及其周期性，此類考點具有很強的抽象性，因而難度較大．