Question

設函數f（x）=x²+（2a+1）x+a²+3a
（I）若f（x）在[0，2]上的最大值為0，求實數a的值；
（II）若f（x）在區間[α，β]上單調，且{y|y=f（x），α≤x≤β}=[α，β]，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）分別討論當-

2a+1

2

≤1，當-

2a+1

2

＞1的情況，從而求出a的值；
（2）通過討論若f（x）在[α，β]上遞增，若f（x）在[α，β]上遞減的情況，得到不等式組，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）當-

2a+1

2

≤1，即a≥-

3

2

時，
f（x）_max=f（2）=a²+7a+6=0，解得：a=-6（舍）或a=-1，
當-

2a+1

2

＞1，即a＜-

3

2

時，
f（x）_max=f（0）=a²+3a=0，解得：a=0（舍）或a=-3，
綜上a=-1或a=-3；
（Ⅱ）若f（x）在[α，β]上遞增，則滿足：
①-

2a+1

2

≤α；②

f(α)=α f(β)=β

，
即方程f（x）=x在[-

2a+1

2

，+∞）上有兩個不相等的實根．
方程可化為x²+2ax+a²+3a=0，設g（x）=x²+2ax+a²+3a，
則

- 2a+1 2 ＜-a △＞0 g(- 2a+1 2 )≥0

，解得：-

1

12

≤a＜0．
若f（x）在[α，β]上遞減，則滿足：
①-

2a+1

2

≥β；②

f(α)=β f(β)=α

．
由

α2+(2a+1)α+a2+3a=β β2+(2a+1)β+a2+3a=α

得，兩式相減得（α-β）（α+β）+（2a+1）（α-β）=β-α，即α+β+2a+1=-1．
即β=-α-2a-2．
∴α²+（2a+1）α+a²+3a=-α-2a-2，即α²+（2a+2）α+a²+5a+2=0．
同理：β²+（2a+2）β+a²+5a+2=0，
即方程x²+（2a+2）x+a²+5a+2=0在（-∞，-

2a+1

2

]上有兩個不相等的實根，
設h（x）=x²+（2a+2）x++a²+5a+2，
則

- 2a+1 2 ＞-a-1 △＞0 h(- 2a+1 2 )≥0

，解得：-

5

12

≤a＜-

1

3

，
綜上所述：a∈[-

5

12

，-

1

3

）∪[-

1

12

，0）．

點評：本題考查了二次函數的性質，考查了函數的單調性，考查了分類討論思想，是一道中檔題．