Question

（Ⅰ）已知函數：求函數的最小值;

（Ⅱ）證明:；

（Ⅲ）定理:若 均為正數,則有 成立(其中．請你構造一個函數，證明：

當均為正數時，．

Answer 1

（Ⅰ）當時，的最小值為（Ⅱ）證明見解析（Ⅲ）證明見解析

解析:

（Ⅰ）令

得……………………………………2分

當時，　  　故在上遞減．

當    故在上遞增．

所以，當時，的最小值為….……………………………………..4分

（Ⅱ）由，有　即

故　．………………………………………5分

（Ⅲ）證明:要證：

只要證：

 設…………………7分

則

令得…………………………………………………….8分

當時，

故上遞減，類似地可證遞增

所以的最小值為………………10分

而=

=

=

由定理知:  故

故 

即: .…………………………..14分

           ………12分