Question

若a＞0，b＞0，且a+b=4，則下列不等式中恒成立的是（　　）

• A、

  1

  ab

  ＞

  1

  2

• B、

  1

  a

  +

  1

  b

  ≤1
• C、

  ab

  ≤2
• D、

  1

  a2+b2

  ≤

  1

  8

Answer 1

分析：由題設知ab≤(

a+b

2

)2=4，所以

1

ab

≥

1

4

，

1

a

+

1

b

=

4

ab

≥1，

ab

≤2，

1

a2+b2

=

1

(a+b)2-2ab

=

1

16-2ab

≤

1

8

，由此能夠排除選項A、B、C，從而得到正確選項．

解答：解：∵a＞0，b＞0，且a+b=4，
∴ab≤(

a+b

2

)2=4，
∴

1

ab

≥

1

4

，故A不成立；

1

a

+

1

b

=

4

ab

≥1，故B不成立；

ab

≤2，故C不成立；
∵ab≤4，a+b=4，∴16-2ab≥8，
∴

1

a2+b2

=

1

(a+b)2-2ab

=

1

16-2ab

≤

1

8

，故D成立．
故選D．

點評：本題考查不等式的基本性質，解題時要注意均值不等式的合理運用．