Question

已知方程f（x）=x²+ax+2b的兩個根分別在（0，1），（1，2）內，則a²+（b-4）²的取值范圍為

(

81

5

，20)

．

Answer 1

分析：根據方程f（x）=x²+ax+2b的兩個根分別在（0，1），（1，2）內，推出a、b的關系，利用線性規劃，得到ab的可行域，a²+（b-4）²的含義是可行域內的點到（0，4）點距離的平方，求其范圍即可．

解答：解：拋物線f（x）=x²+ax+2b開口向上
兩個根分別在（0，1），（1，2）內，所以，
f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，即2b＞0，（a+2b+1）＜0，（2a+2b+4）＞0
所以，在同一直角aOb坐標系里，畫出直線
b=0，a+2b+1=0，a+b+2=0
記b=0和a+2b+1=0的交點為A，a+2b+1=0和a+b+2=0的交點為Q，
b=0和a+b+2=0的交點為B
那么，A（-1，0），Q（-3，1），B（-2，0）
我們知道，b＞0，a+2b+1＜0，a+b+2＞0，就是三角形AQB．
a²+（b-4）²其實就是點P（0，4）到三角形區域的距離的平方
根據圖，我們知道，最小的距離是P垂直于AQ時的距離，這時候，最小距離d=

9

5

；
最大距離是，PB=2

5

，因為該三角形的邊線不符合不等式條件！
所以，a²+（b-4）²的范圍是（

81

5

，20）
故答案為：（

81

5

，20）．

點評：這是不等式與根的分布相結合的問題，主要考查一元二次方程根與系數的關系、簡單線性規劃的應用，是難題．