Question

如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，長軸A₁A₂的長為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA₁|：|A₁F₁|=2：1．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，求∠F₁PF₂的最大值、

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距為c，由題意能夠?qū)С鯽=2，b=

3

，c=1，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)P（-4，y₀），y₀≠0設(shè)直線PF₁的斜率k₁=-

y0

3

，直線PF₂的斜率k₂=-

y0

5

，由題設(shè)知∠F1PF為銳角．由此能導(dǎo)出∠F₁PF₂的最大值為arctan

15

15

．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距為c，
則|MA1|=

a2

c

-a，|A1F1|=a-c由題意，
得

a2 c -a=2(a-c) 2a=4 a2=b2+c2

，∴a=2，b=

3

，c=1，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)P（-4，y₀），y₀≠0設(shè)直線PF₁的斜率k₁=-

y0

3

，直線PF₂的斜率k₂=-

y0

5

，
∵0＜∠F1PF2＜∠PF1M＜

π

2

，∴∠F1PF為銳角．
∴tan∠F1PF2=|

k2-k1

1+k1k2

|=

2|y0|

y02+15

≤

2|y0|

2 15 |y0|

=

15

15

．
當(dāng)|y0|=

15

，即y0=±

15

時(shí)，tan∠F₁PF₂取到最大值，
此時(shí)∠F₁PF₂最大，故∠F₁PF₂的最大值為arctan

15

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解．