Question

已知a，b∈R，若M=

-1 a b 3

所對應的變換T_M把直線L：2x-y=3變換為自身，求實數a，b，并求M的逆矩陣．

Answer 1

分析：首先分析題目已知M=

-1 b

  

a 3

所對應的變換T_M把直線L：2x-y=3變換為自身，故可根據變換的性質列出一組方程式求解出a，b即可得到矩陣M，再根據MM¹=E，求得M的逆矩陣即可．

解答：解：設P（x，y）為直線2x-y=3上任意一點其在M的作用下變為（x'，y'）
則

-1 b

   

a 3

x y

=

-x+ay bx+3y

=

x′ y′

?

x′=-x+ay y′=bx+3y

代入2x-y=3得：-（b+2）x+（2a-3）y=3其與2x-y=3完全一樣．
故得

-b-2=2 2a-3=-1

?

b=-4 a=1

則矩陣M=

-1 1 -4 3

 又因為MM¹=E
則M-1=

3 -1 4 -1

點評：此題主要考查矩陣變換的問題，其中涉及到逆矩陣的求法，題中是用一般方法求解，也可根據取特殊值法求解，具體題目具體分析找到最簡便的方法．