Question

（2012•宜賓一模）設f（x）等于(x2+

1

2x

) 6展開式的中間項，若f（x）≤mx在區間[

2

2

，

2

]上恒成立，則m的取值范圍是（　　）

• A．[5，+∞）
• B．[

  5

  4

  ，+∞）
• C．[

  5

  4

  ，5]
• D．[

  5

  4

  ，5）

Answer 1

分析：先由二項式定理可以得到(x2+

1

2x

) 6展開式的通項，再求出其展開式的中間項，即可得f（x），由x的范圍，可將f（x）≤mx變形為

5

2

x²≤m，由二次函數的性質，求出

5

2

x²在區間[

2

2

，

2

]上的最大值，結合不等式恒成立的意義，即可得答案．

解答：解：(x2+

1

2x

) 6展開式的通項為T_r+1=C₆^r（x²）^6-r（

1

2x

）^r=（

1

2

）^r•C₆^r•x^12-3r，
其展開式的中間項為T₄=（

1

2

）³•C₆³•x³=

5

2

x³，即f（x）=

5

2

x³，
f（x）≤mx?

5

2

x³≤mx，
當

2

2

≤x≤

2

時，

5

2

x³≤mx?

5

2

x²≤m，
且

2

2

≤x≤

2

時，

5

2

x²的最大值為5，則若

5

2

x²≤m恒成立，則必有m≥5，
故m的取值范圍是[5，+∞），
故選A．

點評：本題考查二項式定理與函數的恒成立問題，關鍵由二項式定理求出f（x）并求出其最大值．