Question

計算出數列1，1+2+1，1+2+3+2+1，…，1+2+3+…+n+…+3+2+1，…的前n項，并猜想出數列的通項公式，然后用歸納法證明.

Answer 1

解：計算并觀察得1=1²，1+2+1=4=2²，1+2+3+2+1=9=3².

由此猜想得1+2+3+…+n+…+3+2+1=n².故a_n=a².

即數列的通項公式為a_n=n².

下面用數學歸納法證明：

1°當n=1時，a₁=1=1²，猜想正確；

2°假設n=k時猜想正確，即

a_k=1+2+3+…+k+…+3+2+1=k²，

那么a_k+1=1+2+3+…+k+（k+1）+k+…+3+2+1

=（1+2+3+…+k+…+3+2+1）+（k+1）+k

=k²+2k+1=（k+1）².

∴n=k+1時猜想正確.

由1°2°可知1+2+3+…+n+…+3+2+1=n²對任意正整數均成立.