Question

命題：“存在實數x，滿足不等式（m+1）x²-mx+m-1≤0”是假命題，則實數m的取值范圍是

m＞

2 3

3

．

Answer 1

分析：由題意知“任意x∈R，使（m+1）x²-mx+m-1＞0”是真命題，分兩種情況：當m+1等于0時，得到函數有意義，符合題意；當m+1不等于0時，由x屬于全體實數，根據二次函數的圖象與性質可知拋物線的開口向上且與x軸沒有交點時滿足題意，所以令m+1大于0，及△小于0列出關于m的不等式，求出不等式的解集即可m的取值范圍，綜上，得到所有滿足題意的實數m的取值范圍．

解答：解：∵“存在實數x，滿足不等式（m+1）x²-mx+m-1≤0”是假命題，
∴“任意x∈R，使（m+1）x²-mx+m-1＞0”是真命題，
①當m+1=0時，（m+1）x²-mx+m-1＞0，即x-2＞0，不是對任意x∈R恒成立；
②當m+1≠0時，?x∈R，任意x∈R，使（m+1）x²-mx+m-1＞0，
即m+1＞0且△=（-m）²-4（m+1）（m-1）＜0，
化簡得：3m²＞4，解得m＞

2 3

3

或m＜-

2 3

3

，
∴m＞

2 3

3

綜上，實數m的取值范圍是m＞

2 3

3

．
故答案為：m＞

2 3

3

．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用、二次函數恒成立問題，即根據二次函數圖象開口方向和判別式的符號，列出等價條件求出對應的參數的范圍．