Question

（2013•遼寧二模）給出下列命題：
①存在實數x，使sinx+cosx=

3

2

；
②若α、β是第一象限角，且α＞β，則cosα＜cosβ；
③函數y=sin(

2

3

x+

π

2

)是偶函數；
④A、B、C為銳角△ABC的三個內角，則sinA＞cosB
其中正確命題的序號是

③④

．（把正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：利用兩角和與差的三角函數判斷①的正誤；利用函數的單調性與函數的區間判斷②的正誤；
通過誘導公式以及函數的奇偶性判斷③的正誤；利用三角函數的單調性與誘導公式判斷④的正誤．

解答：解：①因為sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)≤

2

＜

3

2

，所以存在實數x，使sinx+cosx=

3

2

；不成立．
②若α、β是第一象限角，且α＞β，因為y=cosx在x∈(0，

π

2

)時，函數是減函數，則cosα＜cosβ，但是α＞β不在一個單調區間時，可能cosα＞cosβ；所以②不正確；
③因為y=sin(

2

3

x+

π

2

)=cos

2

3

x，所以函數y=sin(

2

3

x+

π

2

)是偶函數；正確．
④A、B、C為銳角△ABC的三個內角，因為A+B＞

π

2

，所以A＞

π

2

-B，
所以sinA＞sin（

π

2

-B）=cosB，即sinA＞cosB，所以④正確．
正確命題是③④．
故答案為：③④．

點評：本題考查兩角和與差的三角函數，函數的單調性與函數的奇偶性的應用，命題的真假的判斷，基本知識的應用．