Question

已知橢圓

x2

25

+

y2

16

=1與雙曲線

x2

8

-y2=1有公共焦點F₁，F₂，P為橢圓與雙曲線的一個交點，則面積SPF1F2為（　　）

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

分析：根據題意，算出橢圓與雙曲線公共焦點為F₁（3，0）、F₂（-3，0），得到焦距|F₁F₂|=6．再將橢圓、雙曲線的方程聯解得到點P的坐標，利用三角形的面積公式加以計算，可得△PF₁F₂的面積．

解答：解：橢圓

x2

25

+

y2

16

=1與雙曲線

x2

8

-y2=1的公共焦點為F₁（3，0）、F₂（-3，0）．
∴焦距|F₁F₂|=6．
設P（m，n）是橢圓與雙曲線的一個交點，
則

m2 25 + n2 16 =1 m2 8 -n2=1

，解之得

m2= 200 9 n2= 16 9

，得P（

10 2

3

，±

4

3

）或P（-

10 2

3

，±

4

3

）．
∴△PF₁F₂的面積S△PF1F2=

1

2

•|F₁F₂|•|n|=

1

2

×6×

4

3

=4．
故選：B

點評：本題給出有公共焦點F₁、F₂的橢圓與雙曲線，它們的一個交點為P，求△PF₁F₂的面積．著重考查了橢圓、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質、三角形的面積公式等知識，屬于中檔題．