Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若曲線在處切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若，求證：．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）見解析

【解析】

（1）利用導(dǎo)函數(shù)求出曲線在處切線，表示出切線與坐標(biāo)軸圍成三角形面積即可求解；

（2）需證明的不等式通過作差轉(zhuǎn)化成證明，利用導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性求出最小值即可得證.

（1），則為切線斜率．

又，∴切點(diǎn)為．∴曲線在處切成方程為．

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（易知）

則切線與坐標(biāo)軸圍成三角形面積為．

∴得．

所以或．

（2）法一：時(shí)，

要證的不等式為，即．

令，則．

易知遞增，，，∴僅有一解且，即．

當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增．

從而最小值為∴，故原不等式成立．

法二：時(shí)，要證的不等式為．令，則．

故問題化為證不等式恒成立．時(shí)，

令，則，當(dāng)時(shí)，，遞減；

當(dāng)時(shí)，，遞增．∴，從而原不等式成立．