Question

設(shè)a_n（n=2，3，4…）是(3+

x

)n展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)，則

2010

2009

(

32

a2

+

33

a3

+…+

32010

a2010

)的值是

18

．

Answer 1

分析：在(3+

x

)n展開式中令x的指數(shù)為1，得出一次項(xiàng)的系數(shù)即a_n=3^n-2C_n²，根據(jù)所求式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，先化簡(jiǎn)

3n

an

=

32

C 2 n

=

18

n(n-1)

=18（

1

n-1

-

1

n

 ），再利用裂項(xiàng)求和法可以求出式子的值．

解答：解：(3+

x

)n展開式的通項(xiàng)為

C

r n

3n-r• (

x

)r=

3n-rC

r n

x

r

2

，令

r

2

=1，得r=2．展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)為3^n-2C_n²，即a_n=3^n-2C_n²  （n≥2）．
我∴

3n

an

=

32

C 2 n

=

18

n(n-1)

=18（

1

n-1

-

1

n

），，∴

2010

2009

(

32

a2

+

33

a3

+…+

32010

a2010

)=

2010

2009

×18×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

2009

-

1

2010

）=18×

2010

2009

×(1-

1

2010

)=18×1=18
故答案為：18．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、裂項(xiàng)法數(shù)列求和．考查轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．得出

3n

an

=18（

1

n-1

-

1

n

 ）是關(guān)鍵．