Question

【題目】已知平面內的定點到定直線的距離等于，動圓過點且與直線相切，記圓心的軌跡為曲線．在曲線上任取一點，過作的垂線，垂足為.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）記點到直線的距離為，且，求的取值范圍；

（3）判斷的平分線所在的直線與曲線的交點個數，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）見解析． （3）見解析.

【解析】試題分析; （1）以FK的中點為坐標原點O，FK所在的直線為x軸，過O的垂線為y軸建立直角坐標系，求得F的坐標和直線l的方程，運用拋物線的定義，可得M的軌跡和方程；（2）利用向量點積運算可得到，根據條件，可得到角的范圍;（3）∠EAF的平分線所在的直線與曲線的交點個數為1．設A（x0，y0），可得y02=2px0，討論當A與O重合時，顯然一個交點；當A不與O重合，A在上方，推得四邊形EAFM為菱形，求得AMF的正切值，設出直線AM的方程，聯立拋物線的方程，即可得到證明．

解析：

（1）過點與垂直的直線為軸， 軸與直線的交點為點，以的中點為原點建立直角坐標系．

設 ， 到定點與到定直線的距離相等，

化簡得：

（2）設

， ,

．

（3）設 ， .

由，得的平分線所在的直線方程就是邊上的高所在的直線方程．

的平分線所在的直線方程為．

由，消得．

， ．

的平分線所在的直線與曲線有且只有一個交點．