Question

甲乙兩運動員進行射擊訓練，已知他們擊中目標的環數都穩定在7，8，9，10環，且每次射擊成績互不影響，射擊環數的頻率分布表如下，
甲運動員

乙運動員

若將頻率視為概率，回答下列問題，
（1）求甲運動員擊中10環的概率
（2）求甲運動員在3次射擊中至少有一次擊中9環以上（含9環）的概率
（3）若甲運動員射擊2次，乙運動員射擊1次，ξ表示這3次射擊中擊中9環以上（含9環）的次數，求ξ的分布列及Eξ．

Answer 1

分析：（1）根據所給的表格，根據樣本容量和概率的特點得到表格中的未知數，由表格得到甲運動員擊中10環的概率，可以求出兩個運動員射中任意環的概率．
（2）由表格看出甲運動員在一次射擊中擊中9環以上（含9環）的概率，甲運動員在3次射擊中至少有一次擊中9環以上的對立事件是甲射擊3次一次也沒有擊中9環，用對立事件的概率做出結果．
（3）要射擊3次，ξ表示這3次射擊中擊中9環以上（含9環）的次數的取值是0、1、2、3，根據互斥事件和相互獨立事件同時發生的概率做出結果分布列和期望．

解答：解：由題意知：10+10+x+35=100，
∴x=45，
y=

35

100

=0.35，
8+12+z+80×0.35=80，
∴z=32，
（1）設“甲運動員擊中10環”為事件A，
P（A）=0.35
∴甲運動員擊中10環的概率為0.35．
（2）設甲運動員擊中9環為事件A₁，擊中10環為事件A₂
則甲運動員在一次射擊中擊中9環以上（含9環）的概率
P=（A₁+A₂）=P（A₁）+P（A₂）
=0.45+0.35=0.8
∴甲運動員在3次射擊中至少有一次擊中9環以上（含9環）的概率
P=1-[1-P（A₁+A₂）]³=1-0.2³=0.992
（3）ξ的可能取值是0，1，2，3
P（ξ=0）=0.2²×0.25=0.01
P（ξ=1）=C₂¹×0.2×0.8×0.25+0.2²×0.75=0.11
P（ξ=2）=0.8²×0.25+C₂¹×0.8×0.2×0.75=0.4
P（ξ=3）=0.8²×0.75=0.48
所以ξ的分布列是

∴Eξ=0×0.01+1×0.11+2×0.4+3×0.48=2.35．

點評：考查運用概率知識解決實際問題的能力，相互獨立事件是指，兩事件發生的概率互不影響，而對立事件是指同一次試驗中，不會同時發生的事件，遇到求用至少來表述的事件的概率時，往往先求它的對立事件的概率．