Question

在平面直角坐標系xOy中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與x、y軸的交點分別為A、B，且向量．求：
（Ⅰ）點M的軌跡方程；
（Ⅱ）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用相關點法求軌跡方程，設P（x，y），M（x，y），利用點M的坐標來表示點P的坐標，最后根據x，y滿足C的方程即可求得；
（2）先將用含點M的坐標的函數來表示，再利用基本不等式求此函數的最小值即可．
解答：解：（I）橢圓方程可寫為：+=1式中a＞b＞0，且得a²=4，b²=1，
所以曲線C的方程為：x²+=1（x＞0，y＞0）．y=2（0＜x＜1）y'=-
設P（x，y），因P在C上，有0＜x＜1，y=2，y'|_x=x0=-，得切線AB的方程為：
y=-（x-x）+y．
設A（x，0）和B（0，y），由切線方程得x=，y=．
由=+得M的坐標為（x，y），由x，y滿足C的方程，得點M的軌跡方程為：
+=1（x＞1，y＞2）
（Ⅱ）||²=x²+y²，y²==4+，
∴||²=x²-1++5≥4+5=9．
且當x²-1=，即x=＞1時，上式取等號．
故||的最小值為3．
點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題，求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系．