Question

（2013•黑龍江二模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，點C是⊙O直徑BE的延長線上一點，AC是⊙O的切線，A為切點，∠ACB的平分線CD與AB相交于點D，與AE相交于點F，
（Ⅰ）求∠ADF的值
（Ⅱ）若AB=AC，求

AC

BC

的值．

Answer 1

分析：（I）利用切線的性質和角平分線的性質可得∠ADF=∠AFD．再利用BE是⊙O直徑，可得∠BAE=90°．即可得到∠ADF=45°．
（II）利用等邊對等角∠B=∠ACB=∠EAC．由（I）得∠BAE=90°，∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，即可得到∠B=30°．
進而得到△ACE∽△BCA，于是

AC

BC

=

AE

AB

=tan30°．

解答：解：（I）∵AC是⊙O的切線，∴∠B=∠EAC．
又∵DC是∠ACB的平分線，∴∠ACD=∠DCB，
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，∴∠ADF=∠AFD．
∵BE是⊙O直徑，∴∠BAE=90°．
∴∠ADF=45°．
（II）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠EAC．
由（I）得∠BAE=90°，∴∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，
∴∠B=30°．
∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴

AC

BC

=

AE

AB

=tan30°=

3

3

．

點評：熟練掌握圓的性質、切線的性質和角平分線的性質、弦切角定理、相似三角形的性質等是解題的關鍵．