Question

數列{a_n}的前n項和記為S_n，已知a_n=5S_n-3（n∈N）求

lim

n→∞

（a₁+a₃+…+a_2n-1）的值．

Answer 1

分析：由題意可知數列{a_n}是首項a₁=

3

4

，公比q=-

1

4

的等比數列．由此知數列a₁，a₃，a₅，，a_2n-1是首項為a₁=

3

4

，公比為(-

1

4

)2的等比數列．由此可以求出

lim

n→∞

（a₁+a₃+a₅++a_2n-1）的值．

解答：解：由S_n=a₁+a₂++a_n知
a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
a₁=S₁，
由已知a_n=5S_n-3得
a_n-1=5S_n-1-3．
于是a_n-a_n-1
=5（S_n-S_n-1）
=5a_n，
所以a_n=-

1

4

a_n-1．
由a₁=5S₁-3，
得a₁=

3

4

．
所以，數列{a_n}是首項a₁=

3

4

，公比q=-

1

4

的等比數列．
由此知數列a₁，a₃，a₅，，a_2n-1，
是首項為a₁=

3

4

，公比為(-

1

4

)2的等比數列．
∴

lim

n→∞

（a₁+a₃+a₅++a_2n-1）=

3 4

1-(- 1 4 )2

=

4

5

．

點評：本題主要考查等比數列和數列極限等基礎知識，解題時要注意培養計算能力．