【題目】如圖,四棱錐中,底面
是邊長為2的正方形,側面
底面
,
為
上的點,且
平面
(1)求證:平面平面
;
(2)當三棱錐體積最大時,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)見證明;(2).
【解析】
(1)通過側面底面
,可以證明出
面
,這樣可以證明出
,再利用
平面
,可以證明出
,這樣利用線面垂直的判定定理可以證明出
面
,最后利用面面垂直的判定定理可以證明出平面
平面
;
(2)利用三棱錐體積公式可得,
利用基本不等式可以求出三棱錐體積最大值,此時可以求出
的長度,以點
為坐標原點,以
,
和
分別作為
軸,
軸和
軸,建立空間直角坐標系
.求出相應點的坐標,求出面
的一個法向量,面
的一個法向量,利用空間向量數量積的運算公式,可以求出二面角
的余弦值.
(1)證明:∵側面底面
,側面
底面
,四邊形
為正方形,∴
,
面
,
∴面
,
又面
,
∴,
平面
,
面
,
∴,
,
平面
,
∴面
,
面
,
∴平面平面
.
(2),
求三棱錐體積的最大值,只需求
的最大值.
令,由(1)知,
,
∴,
而,
當且僅當,即
時,
的最大值為
.
如圖所示,分別取線段,
中點
,
,連接
,
,
以點為坐標原點,以
,
和
分別作為
軸,
軸和
軸,建立空間直角坐標系
.
由已知,
所以,
令為面
的一個法向量,
則有,
∴
易知為面
的一個法向量,
二面角的平面角為
,
為銳角
則.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底而ABCD是菱形,且PA=AD=2,∠PAD=∠BAD=120°,E,F分別為PD,BD的中點,且.
(1)求證:平面PAD⊥平面ABCD;
(2)求銳二面角E-AC-D的余弦值.
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【題目】矩形ABCD中,,沿對角線AC將三角形ADC折起,得到四面體
,四面體
外接球表面積為
,當四面體
的體積取最大值時,四面體
的表面積為( )
A.B.
C.
D.
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【題目】某企業生產甲、乙兩種產品,已知生產每噸甲產品要用A原料3噸,B原料2噸;生產每噸乙產品要用A原料1噸,B原料3噸.銷售每噸甲產品可獲得利潤5萬元,每噸乙產品可獲得利潤3萬元.該企業在一個生產周期內消耗A原料不超過13噸,B原料不超過18噸.
(1)列出甲、乙兩種產品滿足的關系式,并畫出相應的平面區域;
(2)在一個生產周期內該企業生產甲、乙兩種產品各多少噸時可獲得利潤最大,最大利潤是多少?
(用線性規劃求解要畫出規范的圖形及具體的解答過程)
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【題目】《中國詩詞大會》是央視推出的一檔以“賞中華詩詞,尋文化基因,品生活之美”為宗旨的大型文化類競賽節目,邀請全國各個年齡段、各個領域的詩詞愛好者共同參與詩詞知識比拼。“百人團”由一百多位來自全國各地的選手組成,成員上至古稀老人,下至垂髫小兒,人數按照年齡分組統計如下表:
分組(年齡) | |||
頻數(人) |
(1)用分層抽樣的方法從“百人團”中抽取人參加挑戰,求從這三個不同年齡組中分別抽取的挑戰者的人數;
(2)在(1)中抽出的人中,任選
人參加一對一的對抗比賽,求這
人來自同一年齡組的概率。
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【題目】如圖,在棱長均相等的四棱錐中,
為底面正方形的中心,
,
分別為側棱
,
的中點,有下列結論正確的有:( )
A.∥平面
B.平面
∥平面
C.直線與直線
所成角的大小為
D.
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【題目】如圖是某學校研究性課題《什么樣的活動最能促進同學們進行垃圾分類》向題的統計圖(每個受訪者都只能在問卷的5個活動中選擇一個),以下結論錯誤的是( )
A. 回答該問卷的總人數不可能是100個
B. 回答該問卷的受訪者中,選擇“設置分類明確的垃圾桶”的人數最多
C. 回答該問卷的受訪者中,選擇“學校團委會宣傳”的人數最少
D. 回答該問卷的受訪者中,選擇“公益廣告”的人數比選擇“學校要求”的少8個
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