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【題目】如圖,四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,側面底面上的點,且平面

(1)求證:平面平面

(2)當三棱錐體積最大時,求二面角的余弦值.

【答案】(1)見證明;(2.

【解析】

1)通過側面底面,可以證明出,這樣可以證明出

,再利用平面,可以證明出,這樣利用線面垂直的判定定理可以證明出,最后利用面面垂直的判定定理可以證明出平面平面

(2)利用三棱錐體積公式可得

利用基本不等式可以求出三棱錐體積最大值,此時可以求出的長度,以點為坐標原點,以分別作為軸,軸和軸,建立空間直角坐標系.求出相應點的坐標,求出面的一個法向量,面的一個法向量,利用空間向量數量積的運算公式,可以求出二面角的余弦值.

(1)證明:∵側面底面,側面底面,四邊形為正方形,∴

平面

平面

∴平面平面

(2)

求三棱錐體積的最大值,只需求的最大值.

,由(1)知,

當且僅當,即時,

的最大值為

如圖所示,分別取線段中點,連接

以點為坐標原點,以分別作為軸,軸和軸,建立空間直角坐標系

由已知

所以

為面的一個法向量,

則有

易知為面的一個法向量,

二面角的平面角為為銳角

.

練習冊系列答案
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分組(年齡)

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