Question

已知數列{a_n}中，a1=1，n≥2時，Sn=nan+

n+1

2n

（1）求數列{a_n}的通項a_n；
（2）令b_n=na_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）a1=1，n≥2時，an=Sn-Sn-1=nan+

n+1

2n

-(n-1)an-1+

n

2n-1

，移向整理得出a_n-a_n-1=

1

2n

，利用累加法求通項
（2）b_n=na_n=

3n

2

-

n

2n

，利用分組法，再分別利用公式法和錯位相消法求和．

解答：解：（1）a1=1，n≥2時，an=Sn-Sn-1=nan+

n+1

2n

-(n-1)an-1+

n

2n-1

，
移向整理得出a_n-a_n-1=

1

2n

，
當n≥2時，an=（a_n-a _n-1）+（a _n-1-a _n-2）+…+（a ₂-a ₁）+a₁
=

1

2n

+

1

2n-1

+…+

1

22

+1=1+

1

2

-

1

2n

=

3

2

-

1

2n

，n=1時也適合
所以a_n=

3

2

-

1

2n

，
（2）b_n=na_n=

3n

2

-

n

2n

，
T_n=

3

2

(1+2+…+n)-（

1

21

+

2

22

+…

n

2n

）
令T_n′=

1

21

+

2

22

+…

n

2n

，兩邊同乘以

1

2

得

1

2

T_n′=

1

22

+

2

23

+…

n-1

2n

+

n

2n+1

兩式相減得出

1

2

T_n′=

1

21

+

1

22

+…

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

T_n′=2-

n+2

2n

所以T_n=

3

2

(1+2+…+n)-（

1

21

+

2

22

+…

n

2n

）
=

3n(n+1)

4

-2+

n+2

2n

點評：本題考查數列的遞推公式，通項公式、數列求和．考查累加法，公式法、錯位相消法的求和方法．考查計算能力．