Question

（本題滿分12分）
一個四棱椎的三視圖如圖所示：（I）求證：PA⊥BD；
（II）在線段PD上是否存在一點Q，使二面角Q-AC-D的平面角為30^o？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（I）由三視圖可知P-ABCD為四棱錐，底面ABCD為正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，
連接AC、BD交于點O，連接PO ． ……………………………………………3分
因為BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，
即BD⊥PA．…………………………………………………………………………6分
（II）由三視圖可知，BC＝2，PA＝2，假設存在這樣的點Q，
因為AC⊥OQ，AC⊥OD，
所以∠DOQ為二面角Q-AC-D的平面角， ……………………………………8分
在△POD中，PD＝2，OD＝，則∠PDO＝60^o，
在△DQO中，∠PDO＝60^o，且∠QOD＝30^o．所以DP⊥OQ． ……………10分
所以OD＝，QD＝．
所以． …………………………………………12分

略