Question

已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的離心率為，且過點（4，3）．
（1）求雙曲線C的標準方程和焦點坐標；
（2）已知點P在雙曲線C上，且∠F₁PF₂=90°，求點P到x軸的距離．

Answer 1

解：（1）∵∴a²=b²
∴雙曲線C：…（2分）
將點（4，3）代入得a²=b²=1…（4分）
∴雙曲線C的標準方程為x²-y²=1，焦點坐標為F₁（）和F₂（）…（6分）
（2）由已知得∴|F₁P|•|F₂P|=2…（9分）
所以點P到x軸的距離為．…（12分）
分析：（1）通過離心率與點在雙曲線上，得到兩個方程，求出a，b，即可求雙曲線C的標準方程和焦點坐標；
（2）利用點P在雙曲線C上，且∠F₁PF₂=90°，勾股定理與雙曲線的定義列出方程，利用三角形的面積，求點P到x軸的距離．
點評：本題考查雙曲線方程的求法，雙曲線的簡單性質(zhì)，考查計算能力．