Question

已知函數g（x）=（a+1）^x-2+1（a＞0）的圖象恒過定點A，且點A又在函數f(x)=log

3

(x+a)的圖象．
（1）求實數a的值；
（2）解不等式f（x）＜log 

3

a；
（3）|g（x+2）-2|=2b有兩個不等實根時，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得A（2，2），將其代入f（x）的解析式即可求得實數a的值；
（2）利用對數函數的性質即可求得不等式f（x）＜log 

3

a的解集；
（3）由|g（x+2）-2|=2b⇒|2^x-1|=2b，通過對x的符號分類討論可求得|2^x-1|的范圍，從而可求得b的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數g（x）=（a+1）^x-2+1（a＞0）的圖象恒過定點A，
∴A（2，2）…2分
又點A在函數f（x）上，
∴f（2）=log

3

(2+a)=2，
∴2+a=(

3

)2=3，
∴a=1…4分
（2）f（x）＜log 

3

a?log

3

(x+1)＜log

3

1=0…6分
⇒0＜x+1＜1⇒-1＜x＜0
⇒不等式的解集為{x|-1＜x＜0}…8分
（3）|g（x+2）-2|=2b
⇒|2^x+1-2|=2b⇒|2^x-1|=2b…10分
若x＜0，0＜2^x＜1，
∴-1＜2^x-1＜0；
∴0＜|2^x-1|＜1；
若x＞0，則2^x＞1，
∴2^x-1＞0；
∴0＜2b＜1，故b的取值范圍為（0，

1

2

）…12分

點評：本題考查指數函數與對數函數的性質，考查解不等式，考查轉化思想與分類討論思想，考查綜合分析與運算的能力，屬于難題．