Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b為實數），
（1）若f（x）滿足不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3），且方程f（x）+6a=0有兩個相等的實根，求f（x）的解析式；
（2）若c=1，f（-1）=0且對任意實數x均有f（x）≥0成立；當x∈[-3，3]時，g（x）=f（x）-kx是單調函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據給出的不等式的解集為（1，3），列出關于a、b、c的不等式組，然后再根據方程f（x）+6a=0有兩個相等的實根，其判別式等于0求解出a的值，則函數解析式可求；
（2）根據f（-1）=0列一個關于a、b、c的方程，再由對任意實數x均有f（x）≥0成立，說明其對應方程的判別式恒小于等于0，求解出函數f（x）后，借助于二次函數的對稱軸與單調區間的關系求解實數k的取值范圍．

解答：解：（1）∵不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）
即ax²+（b+2）x+c＞0的解集為（1，3）
∴

a＞0 a+b+2+c=0 9a+3(b+2)+c=0

⇒

a＞0 b=-4a-2 c=3a

          (1)，
∵方程f（x）+6a=0有兩個相等的實根
即ax²+bx+c+6a=0有兩個相等的實根△=b²-4a（c+6a）=0（2），
將（1）代（2）解得a=-

1

5

 ，a=1（舍），
∴b=-

6

5

c=-

3

5

∴f(x)=-

1

5

x2-

6

5

x-

3

5

．
（2）f（x）=ax²+bx+1∵f（-1）=0∴a-b+1=0（3）
∵對任意實數x均有f（x）≥0成立∴△=b²-4a≤0將（3）代入得（a-1）²≤0
∴a=1b=2∴f（x）=x²+2x+1
∵g（x）=x²+（2-k）x+1在[-3，3]單調
∴-

2-k

2

≤-3或∴-

2-k

2

≥3
∴k≤-4或k≥8．

點評：本題考查了函數解析式的求解及常用方法，同時考查了函數單調性的性質，分析二次函數的單調區間，首先要考慮的就是二次函數對稱軸所處的位置．