Question

【題目】武漢某科技公司為提高市場銷售業績，現對某產品在部分營銷網點進行試點促銷活動．現有兩種活動方案，在每個試點網點僅采用一種活動方案，經統計，2018年1月至6月期間，每件產品的生產成本為10元，方案1中每件產品的促銷運作成本為5元，方案2中每件產品的促銷運作成本為2元，其月利潤的變化情況如圖①折線圖所示．

（1）請根據圖①，從兩種活動方案中，為該公司選擇一種較為有利的活動方案（不必說明理由）；

（2）為制定本年度該產品的銷售價格，現統計了8組售價xi（單位：元/件）和相應銷量y（單位：件）（i＝1，2，…8）并制作散點圖（如圖②），觀察散點圖可知，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，試求y關于x的回歸方程（系數精確到整數）；

參考公式及數據：40，660，xiyi＝206630，x12968，，，

（3）公司策劃部選1200lnx+5000和═x3+1200兩個模型對銷量與售價的關系進行擬合，現得到以下統計值（如表格所示）：

		x3+1200
	52446.95	122.89
	124650
相關指數	R	R

相關指數：R2＝1．

（i）試比較R12，R22的大小（給出結果即可），并由此判斷哪個模型的擬合效果更好；

（ii）根據（1）中所選的方案和（i）中所選的回歸模型，求該產品的售價x定為多少時，總利潤z可以達到最大？

Answer 1

【答案】（1）方案1是較為有利的活動方案；（2）；（3）（i）進行擬合效果更好；（ii）售價為x＝40時，總利潤z最大

【解析】

（1）由圖可知，方案1是較為有利的活動方案；

（2）由公式計算求出和即可得到回歸方程；

（3）（i）由圖表數據可知R12＜R22，故選擇模型進行擬合效果更好；（ii）由（1）可知，采用方案1的促銷效果更好，此時每件產品運作成本為5元，求出總利潤z的解析式，利用導數研究其單調性和最大值即可得到結果.

（1）由圖可知，方案1是較為有利的活動方案；

（2）由公式得27.2≈﹣27，

．

故所求回歸直線方程為；

（3）（i）由圖表可知，R12＝1，R22＝1，

∴R12＜R22，故選擇模型進行擬合效果更好；

（ii）由（1）可知，采用方案1的促銷效果更好，此時每件產品運作成本為5元，

故總利潤，.

當x∈(0，40)時，z′＞0，z單調遞增，

當x∈(40，+∞)時，z′＜0，z單調遞減．

故售價為x＝40時，總利潤z最大．