Question

已知函數f（x）=2

3

sinxcosx-2cos（x+

π

4

）cos（x-

π

4

）．
（I）求函數f（x）的最小正周期和圖象的對稱軸方程；
（II）求函數f（x）在區間[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（I）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為 2sin（2x-

π

6

），由此求得最小正周期以及對稱軸方程．
（II）由-

π

12

≤x≤

π

12

，求得 2x-

π

6

 的范圍，從而求得函數 f（x）=2sin（2x-

π

6

）的值域．

解答：解：（I）求函數f（x）=2

3

sinxcosx-2cos（x+

π

4

）cos（x-

π

4

）=

3

sin2x+sin（2x-

π

2

）=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

）．
故函數f（x）的最小正周期為

2π

2

=π，再由2x-

π

6

=kπ+

π

2

可得對稱軸方程為 x=

kπ

2

+

π

3

，k∈z．
（II）∵-

π

12

≤x≤

π

12

，∴-

π

3

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，故當 2x-

π

6

=

π

2

時，函數取得最大值為2，當 2x-

π

6

=-

π

3

時，函數取得最小值為-2

3

×

1

2

=-

3

，
故函數f（x）在區間[-

π

12

，

π

2

]上的值域為[-

3

，2]．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的對稱性、周期性，以及定義域、值域，屬于中檔題．