| 證明：先證必要性成立：
∵a+b=1，即b=1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0
再證充分性成立：
∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0
即(a+b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0.
∴(a+b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
由ab≠0，即a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2=(a－ )2+ ≠0.
只有a+b=1，
綜上可知，當ab≠0，a+b=1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
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