Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）當時，函數的圖象恒在軸上方，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調遞增；當時，在單調遞減，在單調遞增；（2）．

【解析】

（1）先對求導，然后對進行分類，分別討論的單調性；

（2）方法一：對于的取值進行分類：，考慮每種情況下對應時的取值，由此確定的最大值；

方法二：對進行分類，采用參變分離并分析新函數的最小值，由此得到的最大值.

（1），

當時，恒成立，在上單調遞增,

當時，令，即，則 ,

當時，，在單調遞減，

當時，，在單調遞增，

綜上所述：當時，在上單調遞增.

當時 ，在單調遞減，在單調遞增.

（2）方法一：由已知得，當 時，恒成立，

由（1）得，當時，在上單調遞增，

，不合題意；

當時，

對于任意有，故在單調遞減；

對于任意有，故在單調遞增，

因此當時，有最小值為成立．

當時，

對于任意有，故在單調遞減，

因為恒成立，所以只需，即，

綜上，的最大值為．

方法二：由題設知，當時，，

（1）當時，．

設，則，故在單調遞減，

因此，的最小值大于，所以．

（2）當時，成立．

（3）當時，，因為，

所以當時，成立．

綜上，的最大值為．