Question

某商場進行促銷活動，到商場購物消費滿100元就可轉動轉盤（轉盤為十二等分的圓盤）一次進行抽獎，滿200元轉兩次，以此類推（獎金累加）；轉盤的指針落在A區域中一等獎，獎10元，落在B、C區域中二等獎，獎5元，落在其它區域則不中獎．一位顧客一次購物消費268元，
（Ⅰ）求該顧客中一等獎的概率；
（Ⅱ）記ξ為該顧客所得的獎金數，求其分布列；
（Ⅲ）求數學期望Eξ（精確到0.01）．

Answer 1

分析：（I）該顧客中一等獎分為以下兩種情況，一是兩次均中一等獎，二是兩次有且只有一次中一等獎，由于每次中一等獎概率為

1

12

，代入相互獨立事件概率乘法公式，結合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．
（II）由于該顧客可以轉兩次，故ξ的可能取值為20，15，10，5，0，分別計算出對應的概率，即可得到隨機變量ξ的分布列；
（III）根據（II）的結論中隨機變量ξ的分布列，代入數學期望公式，即可求出數學期望Eξ．

解答：解：（Ⅰ）設事件A表示該顧客中一等獎
P（A）=

1

12

×

1

12

+2×

1

12

×

11

12

=

23

144

所以該顧客中一等獎的概率是

23

144

（4分）
（Ⅱ）ξ的可能取值為20，15，10，5，0（5分）
P(ξ=20)=

1

12

×

1

12

=

1

144

，P(ξ=15)=2×

1

12

×

2

12

=

1

36

，
P(ξ=10)=

2

12

×

2

12

+2×

1

12

×

9

12

=

11

72

P(ξ=5)=2×

2

12

×

9

12

=

1

4

，
P(ξ=0)=

9

12

×

9

12

=

9

16

（每個1分）（10分）
所以ξ的分布列為

ξ	20	15	10	5	0
P	1 144	1 36	11 72	1 4	9 16

（10分）
（Ⅲ）數學期望Eξ=20×

1

144

+15×

1

36

+10×

11

72

+5×

1

4

≈3.33（14分）

點評：本題考查的知識點是相互獨立事件概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式、離散型隨機變量及其分布列、離散型隨機變量的期望，其中根據顧客一次購物消費268元，計算出轉盤次數，并給出ξ的可能取值，是解答本題的關鍵．