Question

【題目】下列說法：
①若f（x）=ax2+（2a+b）x+2（其中x∈[﹣1，a]）是偶函數，則實數b=﹣2；
②f（x）= + 既是奇函數又是偶函數；
③若f（x+2）= ，當x∈（0，2）時，f（x）=2x ， 則f（2015）=2；
④已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數，且對任意的x，y∈R都滿足f（xy）=xf（y）+yf（x），則f（x）是奇函數．其中所有正確命題的序號是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①由函數在區間[﹣1，a]上為偶函數可得：a=1，所以f（x）=x2+（2+b）x+2，
因為函數為偶函數，所以對稱軸 ，故b=﹣2，故①正確；
②易知函數的定義域為 ，此時f（x）=0，既是奇函數，也是偶函數，故②正確；
③由 ，可得 ，故函數為周期為4的周期函數，所以f（2015）=f（3），
又f（3）=f（1+2）= = ，即 ，故③錯誤；
④令x=y=1，可得：f（1）=0，令x=y=﹣1，得f（1）=﹣f（﹣1）﹣f（﹣1），故f（﹣1）=0，
令y=﹣1可得：f（﹣x）=xf（﹣1）﹣f（x）=﹣f（x），
故函數為奇函數，所以④正確．
所以答案是：①②④．
【考點精析】本題主要考查了命題的真假判斷與應用和函數的奇偶性的相關知識點，需要掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱才能正確解答此題．