Question

如圖，在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，最大容積是________．

Answer 1

16000cm³
分析：設箱底邊長為xcm，結合題意可得容積V（x）=（60x²-x³）（0＜x＜60）．再用導數工具研究V（x）在區間（0，60）上的單調性，可知當x=40時V（x）達到最大值．由此得到本題答案．
解答：設箱底邊長為xcm，則箱高h=，
∴箱子容積V（x）=x²h=（60x²-x³）（0＜x＜60）．
求導數，得V′（x）=60x-x²，
令V′（x）=60x-x²=0，解得x=0（不合題意，舍去），x=40，
∵x∈（0，40）時，V′（x）＞0；x∈（40，60）時，V′（x）＜0
∴V（x）在區間（0，40）上為增函數，區間（40，60）上為減函數
由此可得V（x）的最大值是V（40）=16000．
故答案為：16000cm³．
點評：本題以一個實際問題為例，求鐵箱的容積最大值．著重考查了函數模型及其應用和利用導數研究函數的單調性、求最值等知識，屬于中檔題．