Question

設S_n是各項都是正數的等比數列{a_n}的前n項和，若

Sn+Sn+2

2

≤Sn+1，則公比q的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先看當q=1時，求得，

Sn+Sn+2

2

=S_n+1，符合不等式，再分別看當q大于1和小于1兩種情況，把等比數列的求和公式代入題設不等式，分別求得q的范圍，最后綜合可得答案．

解答：解：當q=1時，

Sn+Sn+2

2

=（n+1）a₁=S_n+1，不等式成立
當q≠1時

Sn+Sn+2

2

≤Sn+1
∴

a1(1-qn) 1-q + a1(1-qn+2) 1-q

2

≤

a1(1-qn+1)

1-q

當q＞1時，整理得（q-1）²≤0，不等式無解
當q＜1時，整理得（q-1）²≥0，求得q＜1
最后綜合得q的范圍為0＜q≤1．
故答案為：0＜q≤1．

點評：本題主要考查了等比數列的求和公式的應用．在使用等比數列的求和公式時要注意q=1時的情況．