Question

已知二次函數f（x）滿足：函數f（x+1）為偶函數，f（x）的最小值為-4，函數f（x）的圖象與x軸交點A，B的距離為4．
（1）求二次函數f（x）的解析式；      
（2）求函數f（x）在區間[t，t+2]的最大值g（t）．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法，設出函數的解析式，根據函數f（x+1）為偶函數，函數f（x）的圖象與x軸交點A，B的距離為4，即可求得二次函數f（x）的解析式；      
（2）結合函數的對稱軸，分類討論，確定函數在區間[t，t+2]上的單調性，即可求得函數f（x）在區間[t，t+2]的最大值g（t）．

解答：解：（1）∵f（x）的最小值為-4，∴可設f（x）=a（x-h）²-4（a＞0）…（2分）
∴f（x+1）=a（x+1-h）²-4
∵函數f（x+1）為偶函數
∴函數f（x+1）的對稱軸為x=h-1=0
∴h=1          …（4分）
∴f（x）=a（x-1）²-4
由f（x）=a（x-1）²-4=0，可得x₁=1-

4 a

，x₂=1+

4 a

，
∴A、B的距離為|x₁-x₂|=2

4 a

=4
∴a=1
∴f（x）=（x-1）²-4…（6分）
（2）∵f（x）=（x-1）²-4，∴
①t≥1時，f（x）在區間[t，t+2]上遞增，∴f（x）|_max=f（t+2）=t²+2t-3…（7分）
②0≤t＜1時，f（x）在區間[t，1]上遞減，在[1，t+2]上遞增，∴f（x）|_max=f（t+2）=t²+2t-3…（8分）
③-1≤t＜0時，f（x）在區間[t，1]上遞減，在[1，t+2]上遞增，∴f（x）|_max=f（t）=t²-2t-3…（9分）
④t＜-1時，f（x）在區間[t，t+2]上遞減，∴f（x）|_max=f（t）=t²-2t-3…（10分）
綜上述，g（t）=

t2+2t-3，t≥0 t2-2t-3，t＜0

…（12分）

點評：本題考查函數解析式的確定，考查待定系數法的運用，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，正確分類討論，確定函數的單調性是關鍵．