Question

設f(x)=f1(x)=

x

1+x

，fn(x)=fn-1[f(x)](n≥2，n∈N+)，則f（1）+f（2）+…+f（n）+f₁（1）+f₂（1）+…+f_n（1）=

n

．

Answer 1

分析：根據所給函數關系，分別求出f（1）+f（2）+…+f（n）；f₁（1）+f₂（1）+…+f_n（1），即可求得結論．

解答：解：∵f(x)=f1(x)=

x

1+x

，fn(x)=fn-1[f(x)](n≥2，n∈N+)
∴f（1）+f（2）+…+f（n）=

1

2

+

2

3

+…+

n

1+n

∵f₁（1）=

1

2

，f₂（1）=f₁[f（1）]=f₁（

1

2

）=

1

3

，…f_n（1）=

1

1+n

∴f₁（1）+f₂（1）+…+f_n（1）=

1

2

+

1

3

+…+

1

1+n

∴f（1）+f（2）+…+f（n）+f₁（1）+f₂（1）+…+f_n（1）=n
故答案為：n

點評：本題考查數列與函數的關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．