Question

已知向量

a

=(2cosx，sinx)，

b

=(cosx，2

3

cosx)，函數f（x）=

a

•

b

+1．
（1）求函數f（x）的單調遞增區間．
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對邊，a=1且f（A）=3，求△ABC面積S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知向量

a

=(2cosx，sinx)，

b

=(cosx，2

3

cosx)，函數f（x）=

a

•

b

+1．我們根據向量數量積的運算公式及輔助角公式易將函數的解析式化為正弦型函數，根據正弦型函數的性質得到函數f（x）的單調遞增區間．
（2）由（1）的結論，結合f（A）=3，我們易求出滿足條件的A角的大小，進而根據余弦定理，易求出bc≤1，代入△ABC面積S=

1

2

bcsinA，即可得到△ABC面積S的最大值．

解答：（本題滿分14分）
解：（1）因為 f(x)=

a

•

b

=2cosx2+2

3

sinx．cosx+1
=cos2x+

3

sin2x+2------（2分）
=2sin(2x+

π

6

)+2--------（3分）
∴2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，(k∈Z)--------（5分）
解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

所以f（x）的單調增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)-------（7分）
（2）f（A）=3，∴sin(2A+

π

6

)=10＜A＜π，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，∴A=

π

6

-----------（9分）
a²=b²+c²-2bccosA，b²+c²≥2bc∴bc≤1-------------（12分）
∴S=

1

2

bcsinA≤

3

4

∴S的最大值為

3

4

---------（14分）

點評：本題考查的知識點是三角函數的最值，平面向量數量積坐標表示的應用，其中（1）的關鍵是根據已知條件，結合向量數量積的運算公式及輔助角公式易將函數的解析式化為正弦型函數，（2）的關鍵是由已知條件及余弦定理得到bc≤1，是解答本題的關鍵．