Question

（本小題滿分13分）

如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，，側面底面. 若.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）側棱上是否存在點，使得平面？若存在，指出點  的位置并證明，若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（本小題滿分13分）

解法一：

（Ⅰ）因為 ，所以.

又因為側面底面，且側面底面，

所以底面.

而底面，

所以.

在底面中，因為，，

所以 ， 所以.

    又因為，  所以平面.  ……………………………4分

（Ⅱ）在上存在中點，使得平面，

證明如下：設的中點是，

連結，，，

則，且.

由已知，

所以. 又，

所以，且，

所以四邊形為平行四邊形，所以.

    因為平面，平面，

所以平面.       ……………8分

（Ⅲ）設為中點，連結，

則 .

又因為平面平面，

所以 平面.

過作于，

連結，由三垂線定理可知.

所以是二面角的平面角.

設，則, .

在中，，所以.

所以 ，.

即二面角的余弦值為.         ………………………………13分

解法二：

因為 ，

所以.

又因為側面底面，

且側面底面，

所以 底面.

又因為，

所以，，兩兩垂直.

分別以，，為軸，

軸，軸建立空間直角坐標系，如圖.

設，則，，，，. 

（Ⅰ），，,

所以 ，，所以，.

又因為， 所以平面.   ………………………………4分

（Ⅱ）設側棱的中點是， 則，.

     設平面的一個法向量是，則  

因為，，

所以    取，則.

所以， 所以.

因為平面，所以平面.    ………………………………8分

（Ⅲ）由已知，平面，所以為平面的一個法向量.

由（Ⅱ）知，為平面的一個法向量.

設二面角的大小為，由圖可知，為銳角，

所以.

即二面角的余弦值為.           ………………………………13分