Question

已知集合A={1，2，3，…，2n}(n∈N*)，對于A的一個子集S，若存在不大于n的正整數m，使得對S中的任意一對元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，則稱S具有性質P，
(1)當n=10時，試判斷集合B={x∈A|x＞9}和C={x∈A|x=3k-1，k∈N*}是否具有性質P？并說明理由；
(2)若集合S具有性質P，試判斷集合T={(2n+1)-x|x∈S}是否一定具有性質P？并說明理由。

Answer 1

解：(1)當n=10時，集合A={1，2，3，…，19，20}，
B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}不具有性質P，
因為對任意不大于10的正整數m，都可以找到該集合中兩個元素b₁=10與b₂=10+m，使得|b₁-b₂|=m成立． 集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N*}具有性質P，
因為可取m=1＜10，對于該集合中任意一對元素，
都有。
(2)若集合S具有性質P．那么集合T=|(2n+1)-x|x∈|S}一定具有性質P．
首先因為T={(2n+1)-x|x∈S}，任取t=(2n+1)-x₀∈T，其中x₀∈S，
因為SA，所以x₀∈{1，2，3，…，2n}，
而1≤(2n+1)-x₀≤2n，即t∈A，所以TA，
由S具有性質P，可知存在不大于n的正整數m，使得對S中的任意一對元素，都有，
對上述取定的不大于n的正整數m，
從集合T=|(2n+1)-x|x∈S}中任取元素，其中，
都有，
因為，
所以有，即，
所以集合具有性質P。