Question

已知函數(shù)．當(dāng)x=2時，函數(shù)f（x）取得極值．
（I）求實(shí)數(shù)a的值；
（II）若1≤x≤3時，方程f（x）+m=0有兩個根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（I）由，
則 f'（x）=x²+2ax+6
因在x=2時，f（x）取到極值
所以f'（2）=0?4+4a+6=0
解得，
（II）由（I）得
且1≤x≤3
則f'（x）=x²-5x+6=（x-2）（x-3）
由f'（x）=0，解得x=2或x=3；
f'（x）＞0，解得x＞3或x＜2；
f'（x）＜0，解得2＜x＜3
∴f（x）的遞增區(qū)間為：（-∞，2）和（3，+∞）；
f（x）遞減區(qū)間為：（2，3）
又
要f（x）+m=0有兩個根，
則f（x）=-m有兩解，分別畫出函數(shù)y=f（x）與y=-m的圖象，如圖所示．
由圖知，實(shí)數(shù)m的取值范圍：．
分析：（I）因?yàn)閒（x）在x=3是取極值，則求出f′（x）得到f′（3）=0解出求出a即可．
（II）由（Ⅰ）得f（x），若關(guān)于x的方程f（x）+m=0在[1，3]上恰有兩個不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)f（x）的圖象與直線y=-m有兩個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)即求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最值，結(jié)合圖象可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性等問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想方法，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．