Question

【題目】已知橢圓，經過點且斜率為的直線與相交于兩點，與軸相交于點.

（1）若，且恰為線段的中點，求證：線段的垂直平分線經過定點；

（2）若，設分別為 的左、右頂點，直線、相交于點.當點異于時，是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）是，4.

【解析】

（1）設，，由是橢圓上的點可得，兩式相減進行整理可得，從而可求出，則可得的垂直平分線的斜率，由點斜式可得的垂直平分線的方程為，即可得所過定點.

（2）由點斜式得直線的方程為，則點從而可求；

得直線的方程為，直線的方程為，聯立可求出其交點橫坐標，聯立與橢圓方程，結合韋達定理，對進行化簡，可得，即可求出的值，從而可判斷是否為定值.

解：設，.

（1）由題意知，直線的斜率為，因為是橢圓上的點，則 ，

兩式相減，整理得，所以，故線段的垂直平分線的斜率為，

從而線段的垂直平分線的方程為，

所以，線段的垂直平分線經過定點.

（2）直線的方程為，由條件知：，則點，.

聯立直線與橢圓的方程，消去得：，

所以，.

直線的方程為①，直線的方程為②.

設點，由①，②得，

.

所以，.即為定值4.