Question

【題目】設(shè)拋物線的焦點為，點是上一點，且線段的中點坐標(biāo)為.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若，為拋物線上的兩個動點（異于點），且，求點的橫坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)點，由線段的中點坐標(biāo)可得出點的坐標(biāo)，再代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得出關(guān)于的方程，解出正數(shù)的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點、，求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線的方程，將直線的方程與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立，可得出，可知該方程有解，由可求得的取值范圍，并進(jìn)行檢驗，由此可得出點的橫坐標(biāo)的取值范圍.

（1）依題意得，設(shè)，由的中點坐標(biāo)為，得，

即，，所以，得，即，

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由題意知，設(shè)，，則，

因為，所以，所在直線方程為，

聯(lián)立，

因為，得，即，

因為，即，故或.

經(jīng)檢驗，當(dāng)時，不滿足題意；

所以點的橫坐標(biāo)的取值范圍是.