Question

設函數．
（I）求函數的單調區間；
（II）求y=f（x）在[0，a]（a＞0）上的最小值；
（III）當x∈（1，+∞）時，證明：對任意n∈N₊．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出導函數，然后令f′（x）=0，判定導數符號，即可求出函數的單調區間；
（II）討論a與1的大小，根據函數在[0，a]上的單調性即可求出函數f（x）在[0，a]上的最小值；
（III）設當n=1時，只需證明g₁（x）=e^x-1-x＞0，根據g₁（x）=e^x-1-x在（1，+∞）上單調性可證得結論，然后利用數學歸納法證明即可．
解答：解：（I）f′（x）=2xe^x-1+x²e^x-1-x²-2x=x（x+2）（e^x-1-1）…（2分）
令f′（x）=0，可得x₁=-2，x₂=0，x₃=1

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）		（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-		+		-		+
f（x）	減	極小	增	極大	減	極小	增

函數y=f（x）的增區間為（-2，0）和（1，+∞），減區間為（-∞，-2）和（0，1）…（5分）
（II）①當0＜a≤1時，f′（x）＜0，f（x）在[0，a]上遞減，
∴．
②當a＞1時，由（I）知∴
∴f（x）在[0，a]上的最小值是
∴…（8分）
（III）設當n=1時，只需證明g₁（x）=e^x-1-x＞0
當x∈（1，+∞）時
所以g₁（x）=e^x-1-x在（1，+∞）上單調增函數
∴g₁（x）＞g（1）=e-1=0，即e^x-1＞x；  …（10分）
當x∈（1，+∞）時，假設n=k時不等式成立，即
當n=k+1時，
因為
所以g'_k+1（x）在（1，+∞）上也是增函數
所以
即當n=k+1時，不等式成立．
所以當x∈（1，+∞）時，…（14分）
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及研究函數在閉區間上的最值，同時考查了數學歸納法證明不等式，是一道綜合題，有一定的難度．