Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中AB=AD=2，AA₁=1，E為BB₁的中點(diǎn)．
（1）求證：B₁D∥平面AEC；
（2）求三棱錐A-CDE的體積．

Answer 1

分析：（1）連接BD與AC交于點(diǎn)O，連接OE，由底面為正方形知，O為BD中點(diǎn)，故在三角形BDD₁中OE為中位線，所以O(shè)E∥B₁D，所以B₁D∥平面AEC；
（2）利用等積法有，V_A-CDE=V_E-ACDA，求得體積為

1

3

．

解答：（1）證明：如圖，連接BD交AC與點(diǎn)O，連接OE．
∵底面ABCD為正方形
∴O為兩對角線的交點(diǎn)，即為BD的中點(diǎn)．
∵E為BB₁的中點(diǎn)
∴OE為△BDB₁的中位線
∴OE∥B₁D
∵B₁D?平面ACE，OE?平面ACE．
∴B₁D∥平面ACE．
（2）如圖，連接DE
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D_1為長方體
∴BB₁⊥底面ABCD
∴EB⊥面ACD
∵AA₁=1，E為BB₁中點(diǎn)
∴EB=

1

2

∵AB=AD=2
∴S△ACD=

1

2

×AD×DC=

1

2

×AD×AB=

1

2

×2×2=2
∴VE-ACD=

1

3

×SACD×EB=

1

3

×2×

1

2

=

1

3

∵V_A-ECD=V_E-ACD
∴VA-ECD=

1

3

故三棱錐A-CDE的體積為

1

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了線面平行的判定方法及三棱錐的體積的求法，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化能力．