Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，其左焦點與拋物線的焦點重合.

（1）求橢圓的方程；

（2）過動點的直線交軸于點，交橢圓于點，在第一象限，，過點做軸的垂線交橢圓于點，連接并延長交橢圓于另一點.設直線的斜率分別為，證明：為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明

【解析】

（1）先由拋物線方程求得拋物線的焦點，可得c=1，再由橢圓的離心率可求得a，再由a，b，c的關系可以求出b，然后得到橢圓的方程.

（2）由直線過x軸上定點，所以設出直線的橫截式方程，先計算B點坐標，又因為，所以根據線段的比例關系可以得到A的坐標，再由對稱關系得到D點坐標，由兩點式計算直線DT的斜率，然后求比值.

（1）由題意可知題意的左焦點為，因為離心率為，

所以，

所以題意的方程為.

（2）設直線的方程為，（），則

，可求得；

因為，

所以，且，

所以，

所以為定值.