Question

（12分）已知拋物線和點M（2，2），若拋物線L上存在不同的兩點A、B滿足。
（1）求實數p的取值范圍；
（2）當時，拋物線L上是否存在異于A、B的點C，使得經過A、B、C三點的圓和拋物線L在點C處有相同的切線？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

,存在滿足題設的點C，其坐標為（-2，1）。

解：（法一）（1）不妨設，且。
。
，即，即的取值范圍為。
（2）當時，由（1）求得A、B的坐標分別為（0，0），（4，4）。假設拋物線L上存在點，使得經過A、B、C三點的圓和拋物線L在點C處有相同的切線。設經過A、B、C三點的圓的方程為，則。
整理得，①∵函數的導數為，∴拋物線L在點處的切線的斜率為，∴經過A、B、C三點的圓N在點處的切線斜為。∵，∴直線NC的斜率存在。∵圓心N的坐標為，∴，即，      ②
，由①、②消去E，得。即。，故存在滿足題設的點C，其坐標為（-2，1）。