Question

【題目】已知函數，函數．

（Ⅰ）求函數的極值；

（Ⅱ）當時，證明：對一切的，都有恒成立；

（Ⅲ）當時，函數，有最小值，記的最小值為，證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）極大值是，無極小值（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）詳見解析

【解析】

（Ⅰ）求出函數的導數，利用導數求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；

（Ⅱ）問題可轉化為證明，令，，通過求導判斷單調性可得到的最小值，的最大值是，即可證明不等式成立；

（Ⅲ）求出函數的導數，結合的范圍，可判斷函數的單調性及最小值，從而可得到的表達式，然后通過構造函數判斷的單調性，即可證明結論。

解：（Ⅰ），令，則，

令，解得：，

令，解得：，

故在處取得極大值，極大值是，無極小值；

（Ⅱ）要證，即證，

即證：，

令，，則，

令，則，令，則，

故在遞減，在遞增，

故在處取得極小值也是最小值，

令，，

故在遞增，在遞減，

故在處取得極大值也是最大值，

故對一切的，恒成立，即；

（Ⅲ），設，則，

由，得，而得，

故在遞增，又，，

故存在唯一，使得，即，即，

當，，當，，

故在遞減，在遞增，

故在處取極小值也是最小值，

而，由，故，即，

故在遞減，

故，即，

從而，

即．