Question

數列{a_n}滿足遞推式a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2），其中a₄=365，
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；  
（Ⅱ）若存在一個實數λ，使得{

an+λ

3n

}為等差數列，求λ值；
（Ⅲ）求數列{a_n}的前n項之和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為數列{a_n}滿足遞推式a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2），且a₄=365，所以利用遞推式，
由a4求a3，由a3求a2，由a2求a1，
（Ⅱ）由{

an+λ

3n

}為等差數列，以及等差數列的通項公式可以看成是n的一次函數，所以可設

an+λ

3n

=xn+y
解出a_n，再根據（Ⅰ）中所求a₁，a₂，a₃的值解出x，y，λ即可．
（Ⅲ）根據（Ⅱ）中所求出的a_n，利用錯位相減法求數列{a_n}的前n項之和．

解答：解：（Ⅰ）由a_n=3a_n-1+3ⁿ-1，及a₄=365知a₄=3a₃+3⁴-1=365，則a₃=95
同理求得a₂=23，a₁=5
（Ⅱ）∵{

an+λ

3n

}為一個等差數列，于是設

an+λ

3n

=xn+y
∴a_n=（xn+y）•3ⁿ-λ，又由a₁=5，a₂=23，a₃=95
知

5=a1=(x+y)•3-λ 23=a2=(2x+y)•9-λ 95=a3=(3x+y)•27-λ  &求得λ=- 1 2 ，x=1，y= 1 2

∴an=(n+

1

2

)•3n+

1

2

，而an=(n+

1

2

)•3n+

1

2

滿足遞推式
因此λ=-

1

2

．
（Ⅲ）∵an=(n+

1

2

)•3n+

1

2

先求bn=(n+

1

2

)•3n的前n項和
記Tn=(1+

1

2

)•31+(2+

1

2

)•32+…+(n+

1

2

)•3n
則3Tn=(1+

1

2

)•32+(2+

1

2

)•33+…+(n+

1

2

)•3n+1
由上兩式相減
Tn-3Tn=(1+

1

2

)3+32+33+…+3n-(n+

1

2

)•3n+1
-2Tn=

9

2

+

32-3n+1

1-3

-(n+

1

2

)•3n+1=

9

2

+

1

2

(3n+1-9)-(n+

1

2

)•3n+1
=-n•3ⁿ⁺¹
Tn=

1

2

n•3n+1
因此{an}•前n項和為Tn+

n

2

=

n

2

•3n+1+

n

2

=

n

2

(3n+1+1)．

點評：本題考查了等差數列的通項公式，以及錯位相見求數列的和，做題時要善于觀察，找到規律．