Question

（本小題滿分13分）如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，
ABD和BCD均為等邊三角形，AB=2，AC=。
（1）求證：AO⊥平面BCD；（2）求二面角A—BC—D的大小；
（3）求O點到平面ACD的距離。

Answer 1

(Ⅰ)證明見解析。   (Ⅱ) arctan2（Ⅲ）

法一：（1）證明：連結OC，∵ABD為等邊三角形，O為BD的中點，∴AO垂直BD。（1分）∴ AO=CO=。……（2分）在AOC中，AC=，∴AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90⁰，即AO⊥OC。∴BDOC=O，∴AO⊥平面BCD。……（3分）
（2）過O作OE垂直BC于E，連結AE，∵AO⊥平面BCD，∴AE在平面BCD上的射影為OE。
∴AE⊥BC。∠AEO為二面角A—BC—D的平面角。……（7分）
在RtAEO中，AO=，OE=，∠，∴∠AEO=arctan2。
二面角A—BC—D的大小為arctan2。
（3）設點O到面ACD的距離為∵V_O-ACD=V_A-OCD，∴。
在ACD中，AD=CD=2，AC=，。
      而AO=，，∴。

      ∴點O到平面ACD的距離為。…（13分）
解法二：（1）同解法一。
（2）以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，
則O（0，0，0），A（0，0，），B（1，0，0），C（0，，0），D（-1，0，0）
∵AO⊥平面DCD，    ∴平面BCD的法向量=(0,0,)。…（5分）
      設平面ABC的法向量，

      ，
由。設與夾角為，
則。∴二面角A—BC—D的大小為arccos。………（8分）
（3）解：設平面ACD的法向量為又
。……（11分）
設與夾角為，則設O到平面ACD的距離為，
∵,∴O到平面ACD的距離為。（13分）