Question

5．已知函數f（x）的導數為f′（x），且（x+1）f（x）+xf′（x）≥0對x∈[0，+∞）恒成立，則下列不等式一定成立的是（　　）

• A． f（1）＜2ef（2）
• B． ef（1）＜f（2）
• C． f（1）＜0
• D． ef（e）＜2f（2）

Answer 1

分析 構造函數F（x）=xe^xf （x），則F′（x）=e^x[（x+1）f（x）+xf′（x）]≥0對x∈[0，+∞）恒成立，得出函數F（x）=xe^xf （x）在[0，+∞）上單調遞增，即可得出結論、

解答 解：構造函數F（x）=xe^xf （x），則F′（x）=e^x[（x+1）f（x）+xf′（x）]≥0對x∈[0，+∞）恒成立，
∴函數F（x）=xe^xf （x）在[0，+∞）上單調遞增，
∴F（1）＜F（2），
∴f（1）＜2ef（2），
故選A．

點評 本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，正確構造函數是關鍵．